Question

【題目】已知，函數．

（1）若關于的方程的解集中恰有一個元素，求的值；

（2）設，若對任意，函數在區間上的最大值與最小值的差不超過，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）或.（2）

【解析】

（1）代入解析式表示出方程并化簡，對二次項系數分類討論與，即可確定只有一個元素時的值；

（2）由對數函數性質可知函數在區間上單調遞減，由題意代入可得，化簡不等式并分離參數后構造函數，利用函數的單調性求出構造函數的最值，即可求得的取值范圍．

（1）關于的方程，

代入可得，

由對數運算性質可得，化簡可得，

當時，代入可得，解得，代入經檢驗可知，

滿足關于的方程的解集中恰有一個元素，

當時，則，解得，

再代入方程可解得，代入經檢驗可知，

滿足關于的方程的解集中恰有一個元素，

綜上可知，或.

（2）若，對任意，函數在區間上單調遞減，

由題意可知，

化簡可得，即，所以，

令

，

當時，，當時，

，設，

設，

，

，

所以在是增函數，，

，

則的取值范圍為.