Question

【題目】三棱錐中， 互相垂直， ， 是線段上一動點，若直線與平面所成角的正切的最大值是，則三棱錐的外接球的表面積是（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】是線段上一動點，連接，∵互相垂直，∴就是直線與平面所成角，當最短時，即時直線與平面所成角的正切的最大．

此時， ，在直角△中， ．

三棱錐擴充為長方體，則長方體的對角線長為，

∴三棱錐的外接球的半徑為，

∴三棱錐的外接球的表面積為．

選B.

點睛:空間幾何體與球接、切問題的求解方法

(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找幾何中元素間的關系求解．

(2)若球面上四點構成的三條線段兩兩互相垂直，且，一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，利用求解．