Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)的最大值為6，求常數(shù)的值；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和，求的取值范圍，并求和的值；

（3）在（1）的條件下，若，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(1) (2) , (3) 沒(méi)有零點(diǎn)

【解析】試題分析：（1）利用二倍角的正弦公式，兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)解析式，由x的范圍求出的范圍，由正弦函數(shù)的最大值和條件列出方程，求出m的值；

（2）由x的范圍求出z=的范圍，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)方程在上有兩解，再轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由正弦函數(shù)的圖象列出不等式，求出m的范圍，由正弦函數(shù)的圖象和對(duì)稱性求出x1與x2的和；

（3）由（1）求出f（x）的最小值，求出當(dāng)t≥2時(shí)（t﹣1）f（x）的范圍，利用商的關(guān)系、兩角差的正切公式化簡(jiǎn)，由x的范圍、正切函數(shù)的性質(zhì)求出范圍，即可判斷出函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

試題解析：

（1）由題意得，

，

，

∵，∴，則，

∴時(shí)，，

解得；

（2）令，∵，∴，

函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)方程在上有兩解，

即函數(shù)與 在上有兩個(gè)交點(diǎn)

由圖象可知，解得

由圖象可知，∴

解得；

（3）在（1）的條件下，，

且，則，

當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且時(shí)取等號(hào)），

，

∵，∴，

（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，恒成立，

函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)