【題目】已知函數
，其中
.
（1）若曲線
在點
處的切線與直線
平行，求
與
滿足的關系；
（2）當
時，討論
的單調性；
（3）當
時，對任意的
，總有
成立，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）
；（2）①當
時，
在
上單調遞增；②當
時，在
和
上單調遞增；在
上單調遞減；當
時，函數在
和
上單調遞增；在
上單調遞減；（3）
.
【解析】
（1）求出
，由函數在點
處的切線與
平行，得
，從而可得結果；（2）求出，分三種情況討論
的范圍，在定義域內，分別令
求得
的范圍，可得函數增區間，
求得的范圍，可得函數的減區間；（3）當
時，
，
對任意的
恒成立等價于
在恒成立. 設
，兩次求導，可得
，從而可得結果.
（1）由題意，得
.
由函數在點處的切線與平行，得.
即.
（2）當
時，
，
由
知
.
①當時，
，
在恒成立，
函數在上單調遞增.
②當
時，由，解得
或
；
由，解得
.
函數在和上單調遞增；在上單調遞減.
③當時，，解得
或
；
由，解得
.
函數在和上單調遞增；在上單調遞減.
（3）當時，，
由，得
對任意的恒成立.
，
，
在
恒成立.
設，則
，
令
，則
，
由
，解得
.
由
，解得
；
由
，解得
.
導函數
在區間
單增；在區間
單減，
，
在上單調遞減，
，
.
故所求實數
的取值范圍.
發散思維新課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
．
（1）若函數
與
的圖象上存在關于原點對稱的點，求實數
的取值范圍；
（2）設
，已知
在
上存在兩個極值點
，且
，求證：
（其中
為自然對數的底數）．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=
，O為AC與BD的交點，E為棱PB上一點．
（1）證明：平面EAC⊥平面PBD；
（2）若PD∥平面EAC，求三棱錐P-EAD的體積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（a，b為常數），
（1）當
時，求函數
的單調區間；
（2）在（1）的條件下，
有兩個不相等的實根，求b的取值范圍；
（3）若對任意的
，不等式
在
上恒成立，求b的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：極坐標與參數方程
在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數）．
（1）求曲線
的普通方程；
（2）經過點
（平面直角坐標系
中點）作直線
交曲線
于
， 
兩點，若
恰好為線段
的三等分點，求直線
的斜率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，點O是對角線AC與BD的交點，AB=2，∠BAD=60°，M是PD的中點．
（Ⅰ）求證：OM∥平面PAB；
（Ⅱ）平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅲ）當三棱錐C﹣PBD的體積等于 
時，求PA的長．
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