Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，∥，，平面平面，且.

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）已知點在棱上，且異面直線與所成角的余弦值為，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

先利用線面垂直的性質證明直線平面，以點為原點，分別以的方向為軸，軸，軸的正向建立空間直角坐標系，（1）可得是平面的一個法向量，求得，利用，且直線平面可得結果；（2）利用向量垂直數量積為0，列方程組分別求出平面與平面的法向量，由空間向量夾角余弦公式可得結果；（3）設，則，，

由，可得， 解方程可得結果.

（1）平面平面，

平面平面 ，

，，

直線平面.

由題意，以點為原點，分別以的方向為軸，軸，軸的正向建立如圖空間直角坐標系，

則可得：，

.

依題意，易證：是平面的一個法向量，

又， ，

又直線平面， .

（2） .

設為平面的法向量，

則，即.

不妨設，可得.

設為平面的法向量，

又 ，

則，即.

不妨設，可得，

，

又二面角為鈍二面角，

二面角的大小為.

（3）設，則，又，

又，即，

，解得或（舍去）.

故所求線段的長為.