Question

【題目】（本小題共14分）

如圖，在四棱錐中， 平面，底面是菱形， .

(Ⅰ)求證： 平面

（Ⅱ）若求與所成角的余弦值；

（Ⅲ）當平面與平面垂直時，求的長.

Answer 1

【答案】：證明：（Ⅰ）因為四邊形ABCD是菱形，所以又因為平面。所以，

所以平面。

（Ⅱ）設，因為

所以，如圖，以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，則所設與所成角為，則

（Ⅲ）由（Ⅱ）知設。則設平面的法

向量則，所以令則，

所以同理，平面的法向量，因為平面，所以，即解得，所以

【解析】試題分析：（Ⅰ）因為四邊形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，又因為PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BD. 根據線面垂直的判定定理即可得到結果；（Ⅱ）設AC∩BD=O，因為∠BAD=60°，PA=AB=2, 所以BO=1，AO=CO=，故以O為坐標原點，OB為X軸，OC為Y軸建立空間直角坐標系O—xyz，可得設PB與AC所成角為，利用夾角公式即可求出結果.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，設P（0，－，t）（t>0），則，求出平面PBC的法向量為，平面PDC的法向量，因為平面PCB⊥平面PDC,所以=0，建立方程，即可求出PA的值.

試題解析：證明：（Ⅰ）因為四邊形ABCD是菱形，

所以AC⊥BD.

又因為PA⊥平面ABCD.

所以PA⊥BD. 又因為

所以BD⊥平面PAC.

解：（Ⅱ）設AC∩BD=O.

因為∠BAD=60°，PA="AB=2,"

所以BO=1，AO=CO=.

以O為坐標原點，OB為X軸，OC為Y軸建立空間直角坐標系O—xyz，則P（0， ，2），A（0， ，0），B（1，0，0），C（0， ，0）.

所以

設PB與AC所成角為，則

.

解：（Ⅲ）由（Ⅱ）知

設P（0，－，t）（t>0），則

設平面PBC的法向量,

則

所以取則所以

同理，平面PDC的法向量

因為平面PCB⊥平面PDC,所以=0，即

解得，所以PA=