Question

已知不等式組

4x-3y+m≤0 x＞0 y＜0

，
（1）若該不等式組表示的平面區域內的整點有且僅有一個，且在直線4x-3y+m=0上，則實數m=

-7

；
（2）若該不等式組表示的平面區域內的整點有且僅有三個，則實數m的取值范圍是

（-13，-11]

．

Answer 1

分析：（1）作出不等式組表示的平面區域，得到如圖的△AB0內部，不等式組表示的平面區域內的整點有且僅有一個，必定是（-1，1），因此（-1，1）在直線4x-3y+m=0上，可解出m=7；
（2）記直線l：4x-3y+m=0，隨著l向上平移，可見區域內依此出現點（-1，1）、（-1，2）、（-2，1）、（-1，3），由此建立關于m的不等式組，解之即可得到實數m的范圍．

解答：解：作出不等式組

4x-3y+m≤0 x＞0 y＜0

表示的平面區域，
得到如圖的△AB0內部，其中A（-

m

4

，0），B（0，

m

3

），0為坐標原點
（1）∵不等式組表示的平面區域內的整點有且僅有一個，
∴必定有（-1，1）在區域內，故點（-1，1）在直線4x-3y+m=0上，
即4×（-1）-3×1+m=0，解之得m=7；
（2）結合直線的斜率k=

4

3

，平移直線l：4x-3y+m=0
隨著直線l的向上平移，區域內依此出現點
（-1，1）、（-1，2）、（-2，1）、（-1，3）
∴若該不等式組表示的平面區域內的整點有且僅有三個，必定是（-1，1）、（-1，2）、（-2，1）
記F（x，y）=4x-3y+m=0，則

F(-2，1)≤0 F(-1，3)＞0

即

-8-3+m≤0 -4-9+m＞0

，解之得-13＜m≤-11
故答案為：7，-13＜m≤-11

點評：本題給出含有字母參數的不等式組，在已知區域內整點個數的情況下求參數的值或范圍．著重考查了二元一次不等式組表示的平面區域和簡單的線性規劃等知識，屬于中檔題．