Question

7．已知拋物線C：y²=4x的焦點為F，設過拋物線上一點P處的切線為l₁，過點F且垂直于PF的直線為l₂，則l₁與l₂交點Q的橫坐標為（　　）

• A． -$\frac{3}{4}$
• B． -1
• C． -$\frac{4}{3}$
• D． 不能確定

Answer 1

分析 不妨取P在第一象限，求出l₁與l₂方程，然后求解l₁與l₂交點Q的橫坐標．

解答 解：因為拋物線關于x軸對稱，拋物線的焦點F坐標（1，0）．
不妨取P在第一象限，設P（a，2$\sqrt{a}$），y=2${x}^{\frac{1}{2}}$，可得y′=${x}^{-\frac{1}{2}}$，曲線的斜率為：${a}^{-\frac{1}{2}}$，
P處的切線為l₁的方程為：y-2$\sqrt{a}$=$\frac{1}{\sqrt{a}}$（x-a），
直線PF的斜率為：$\frac{2\sqrt{a}}{a-1}$，
直線l₂的方程為：y=$\frac{1-a}{2\sqrt{a}}$（x-1）．
$\left\{\begin{array}{l}{y-2\sqrt{a}=\frac{1}{\sqrt{a}}（x-a）}\\{y=\frac{1-a}{2\sqrt{a}}（x-1）}\end{array}\right.$，
消去y可得：$\frac{1-a}{2\sqrt{a}}（x-1）-2\sqrt{a}=\frac{1}{\sqrt{a}}（x-a）$，
化簡可得：（1+a）x=-a-1，
解得x=-1．
則l₁與l₂交點Q的橫坐標為：-1．
故選：B．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系的應用，曲線的切線方程的求法，考查函數的導數的應用，考查轉化思想以及計算能力．