Question

規(guī)定＝，其中x∈R，m是正整數(shù)，且＝1，這是組合數(shù)(n、m是正整數(shù)，且m≤n)的一種推廣．

(1)求的值；

(2)組合數(shù)的兩個性質(zhì)：

①＝；②＋＝．

是否都能推廣到(x∈R，m是正整數(shù))的情形？若能推廣，寫出推廣的形式并給出證明；若不能推廣，則說明理由；

(3)已知組合數(shù)是正整數(shù)，證明：當x∈Z，m是正整數(shù)時，∈Z．

Answer 1

答案：
解析：

解答　　(1)＝＝－＝－11628． 　　(2)性質(zhì)①不能推廣．例如當x＝時，有定義，但無意義；性質(zhì)②能推廣，它的推廣形式是＋＝，x∈R，m是正整數(shù)，事實上當m＝1時，有＋＝x＋1＝， 　　當m≥2時， 　　＋＝ 　　＝[＋1] 　　＝＝ 　　(3)證明：當x≥m時，組合數(shù)∈Z．當0≤x＜m時，＝0∈Z．當x＜0時， 　　∵－x＋m－1＞0， 　　∴＝ 　　＝(－1)m 　　＝(－1)m∈Z．