Question

22.規(guī)定C＝，其中x∈R，m是正整數(shù)，且

＝1，這是組合數(shù)（n、m是正整數(shù)，且m≤n）的一種推廣.

（1）求C的值；

（2）組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)；

①＝C. ②＋C＝C.

是否都能推廣到（x∈R，m是正整數(shù)）的情形？若能推廣，則寫(xiě)出推廣的形式并給出證明；若不能，則說(shuō)明理由.

（3）已知組知數(shù)是正整數(shù)，證明：當(dāng)x∈Z，m是正整數(shù)時(shí)，∈Z

 

Answer 1

22.

［解］（1）C＝＝－C＝－11628

 

（2）性質(zhì)①不能推廣，例如當(dāng)x＝2時(shí)，C有定義，但C無(wú)意義；

性質(zhì)②能推廣，它的推廣形式是C＋C＝C，x∈R，m是正整數(shù)，事實(shí)上

當(dāng)m＝1時(shí)，有C＋C＝x＋1＝C，

當(dāng)m≥2時(shí)，

C＋C＝

＝

＝

＝C.

 

［證明］（3）當(dāng)x≥m時(shí)，組合數(shù)C∈Z.

當(dāng)0≤x＜m時(shí)， C＝0∈Z.

當(dāng)x＜0時(shí)，∵－x＋m－1＞0，

∴C＝

＝（－1）^m

＝（－1）^mC∈Z