Question

【題目】數列{an}的前n項和為Sn ， a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*），等差數列{bn}滿足b3=3，b5=9．
（1）分別求數列{an}，{bn}的通項公式；
（2）設Cn= （n∈N*），求證Cn+1＜Cn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：①當n≥2時，由an+1=2Sn+1，an=2Sn﹣1+1，得an+1﹣an=2an，即an+1=3an．

由a1=1，∴a2=2a1+1=3=3a1．

∵a1=1≠0，∴數列{an}是以1為首項，3為公比的等比數列．

∴ ．

②等差數列{bn}滿足b3=3，b5=9．設公差為d，則 ，解得 ．

∴bn=﹣3+（n﹣1）×3=3n﹣6

（2）解：由（1）可得 = ．

∴ =cn．

∵3n=（1+2）n= …+2n≥3n，

∴

【解析】（1）①利用 ，及等比數列的通項公式即可得出an；②利用等差數列的通項公式即可得出bn；（2）由 即可得到cn+1＜cn；利用二項式定理可得3n=（1+2）n≥3n，即可證明 ．
【考點精析】本題主要考查了數列的通項公式的相關知識點，需要掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．