Question

【題目】如圖四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（12分）
（1）證明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E為棱BD上與D不重合的點，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：取AC中點O，連結DO、BO，

∵△ABC是正三角形，AD=CD，

∴DO⊥AC，BO⊥AC，

∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO，

∵BD平面BDO，∴AC⊥BD．

（2）

解：設AD=CD= ，則AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，

∴BO= = ，∴BO2+DO2=BD2，∴BO⊥DO，

以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標系，

則C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0， ，0），A（1，0，0），

設E（a，b，c）， ，（0≤λ≤1），則（a，b，c﹣1）=λ（0， ，﹣1），解得E（0， ，1﹣λ），

∴ =（1， ）， =（﹣1， ），

∵AE⊥EC，∴ =﹣1+3λ2+（1﹣λ）2=0，

由λ∈[0，1]，解得 ，∴DE=BE，

∵四面體ABCE與四面體ACDE的高都是點A到平面BCD的高h，

∵DE=BE，∴S△DCE=S△BCE，

∴四面體ABCE與四面體ACDE的體積比為1．

【解析】（1.）取AC中點O，連結DO、BO，推導出DO⊥AC，BO⊥AC，從而AC⊥平面BDO，由此能證明AC⊥BD．
（2.）設AD=CD= ，則AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO= ，推導出BO⊥DO，以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標系，由AE⊥EC，求出DE=BE，由此能求出四面體ABCE與四面體ACDE的體積比．