Question

如圖，已知橢圓： 的離心率為 ，點 為其下焦點，點為坐標原點，過 的直線 ：（其中）與橢圓 相交于兩點，且滿足：.

（1）試用 表示 ；

（2）求 的最大值；

（3）若 ，求 的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）離心率的最大值為；（3）的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）設，聯立橢圓與直線的方程，消去得到，應用二次方程根與系數的關系得到，，然后計算得，將其代入化簡即可得到；（2）利用（1）中得到的，即（注意），結合，化簡求解即可得出的最大值；（3）利用與先求出的取值范圍，最后根據（1）中，求出的取值范圍即可.

試題解析：（1）聯立方程消去，化簡得 1分

設，則有， 3分

∵

∴ 5分

∴即 6分

（2）由（1）知∴，∴ 8分

∴ ∴離心率的最大值為 10分

(3)∵ ∴ ∴ 12分

解得 ∴即

∴的取值范圍是 14分.

考點：1.橢圓的標準方程及其性質；2.二次方程根與系數的關系.