Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，是的中點，，.

（1）求證：平面；

（2）若，點在側棱上，且，二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）設是的中點，連結，可證，由，則，又由，即可得證；

（2）以為原點，方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出線面角的正弦值.

解：（1）證明：平行四邊形中，設是的中點，連結，

因為是的中點，所以，

又由，得，

所以，平行四邊形中，，則，

又由，且，平面，平面，

故平面

（2）由（1）知平面，

又平面，

于是平面平面，連結，

由，可得，

則，所以平面，

又，所以平面，

得，

故二面角的平面角為，

由此得，

以為原點，方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系，

則，

由，可知點，

則，

設平面的法向量為，

由，

取，

設直線與平面所成角為，

所以