Question

【題目】已知橢圓：的右焦點為點的坐標為，為坐標原點，是等腰直角三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）經過點作直線交橢圓于兩點，求面積的最大值；

（3）是否存在直線交橢圓于兩點，使點為的垂心（垂心：三角形三邊高線的交點）？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由是等腰直角三角形，可得，從而可得橢圓方程；
（2）設過點的直線的方程為，的橫坐標分別為，求出的最大值，即可求得面積的最大值；
（3）假設存在直線交橢圓于兩點，且使點為的垂心，設直線的方程為，代入橢圓方程，利用韋達定理結合，即可求得結論．

解：（1）由是等腰直角三角形，可得，

故橢圓方程為；
（2）設過點的直線的方程為，的橫坐標分別為，
將線的方程為代入橢圓方程，

消元可得，

∴，

，
，
令，則
令，則（當且僅當時取等號）
又面積，

∴△AOB面積的最大值為；
（3）假設存在直線交橢圓于兩點，且使點為的垂心，
設，
因為，所以．
于是設直線的方程為，代入橢圓方程，

消元可得．
由，得，且,

由題意應有，所以，
所以．
整理得．
解得或．
經檢驗，當時，不存在，故舍去．
∴當時，所求直線存在，且直線l的方程