Question

17．給出下列等式：$\sqrt{2}=2cos\frac{π}{4}$，$\sqrt{2+\sqrt{2}}=2cos\frac{π}{8}$，$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}=2cos\frac{π}{16}$，…請從中歸納出第n（n∈N^*）個等式：$\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+…+\sqrt{2}}}}_{n個根號}$=$2cos\frac{π}{{{2^{n+1}}}}$．

Answer 1

分析 通過已知的三個等式，找出規律，歸納出第n個等式即可

解答 解：因為：$\sqrt{2}=2cos\frac{π}{4}$，
$\sqrt{2+\sqrt{2}}=2cos\frac{π}{8}$，
$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}=2cos\frac{π}{16}$，
…等式的右邊系數是2，角是等比數列，公比為$\frac{1}{2}$角的余弦值，角滿足$\frac{π}{{2}^{n+1}}$；
從中歸納出第n（n∈N^*）個等式：$\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+…+\sqrt{2}}}}_{n個根號}$=2cos$\frac{π}{{2}^{n+1}}$．
故答案為：2cos$\frac{π}{{2}^{n+1}}$．

點評 本題考查歸納推理，注意已知表達式的特征是解題的關鍵．