Question

【題目】如果定義在上的函數，對任意的，都有， 則稱該函數是“函數”．

（I）分別判斷下列函數：①；②； ③，是否為“函數”？（直接寫出結論）

（II）若函數是“函數”，求實數的取值范圍．

（III）已知是“函數”，且在上單調遞增，求所有可能的集合與

Answer 1

【答案】（I）①、②是“函數”，③不是“函數”; （II）的取值范圍為;

（III），

【解析】

試題（1）根據“β函數”的定義判定．①、②是“β 函數”，③不是“β函數”；（2）由題意，對任意的x∈R，f（﹣x）+f（x）≠0，故f（﹣x）+f（x）=2cosx+2a由題意，對任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠﹣cosx即可得實數a的取值范圍（3）對任意的x≠0，分（a）若x∈A且﹣x∈A，（b）若x∈B且﹣x∈B，驗證。

（I）①、②是“函數”，③不是“函數”．

（II）由題意，對任意的，，即．

因為，所以．

故．

由題意，對任意的，，即．

故實數的取值范圍為．

（Ⅲ）（）對任意的

（a）若且，則，，這與在上單調遞增矛盾，（舍），

（b）若且，則，這與是“函數”矛盾，（舍）．

此時，由的定義域為，故對任意的，與恰有一個屬于，另一個屬于．

（） 假設存在，使得，則由，故．

（a）若，則，矛盾，

（b）若，則，矛盾．

綜上，對任意的，，故，即，則．

（）假設，則，矛盾．故

故，．

經檢驗，．符合題意