Question

如圖，在直三棱柱中，,點分別為和的中點.

（1）證明：平面；
（2）平面MNC與平面MAC夾角的余弦值.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

解析試題分析：本題主要以直三棱柱為幾何背景，考查空間兩條直線的位置關系、二面角、直線與平面的位置關系等基礎知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.第一問，根據線面平行的判定定理，先在面內找到線，從而證明平面；第二問，建立空間直角坐標系,寫出所有點坐標,先找到平面和平面的法向量,利用線面垂直的判定可以確定是平面的法向量，而平面的法向量需要計算求出來，最后利用夾角公式求夾角余弦，注意判斷夾角是銳角還是鈍角，來判斷余弦值的正負.
試題解析：（1）連接

由題意知，點分別為和的中點，∴，
又平面，平面，
∴平面.
（2）以點為坐標原點，分別以直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，

于是，
∵平面，∴，∵為正方形，∴平面，
∴是平面的一個法向量，，設平面的法向量為，，，
，，令，
∴，
設向量和向量的夾角為，則
，
∴平面與平面的夾角的余弦值是.
考點：1.線面垂直的判定定理；2.線面平行的判定定理；3.空間向量法；4.夾角公式.