Question

如圖，四邊形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°．

（1）求證：PC⊥AC；
（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；
（3）求點B到平面MAC的距離．

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）二面角的余弦值為；（3）.

解析試題分析：本題考查空間兩條直線的位置關系、二面角、點到平面的距離等基礎知識，考查運用傳統幾何法，也可以運用空間向量法求解，突出考查空間想象能力和計算能力.第一問，根據線面平行的判定定理得到平面，所以垂直于面內的任意線；第二問，法一：先找出二面角的平面角，取的中點，因為，所以，由三垂線定理得，所以得到二面角的平面角為，由已知得，在中用余弦定理求，在、、、中求邊長，最后在中即是二面角的余弦值.法二：用向量法，建立空間直角坐標系，設出點坐標，因為直線與直線所成的角為，利用夾角公式，先得到點坐標，再求出平面的法向量，所以求與的夾角的余弦，并判斷夾角為銳角，所以余弦值為正值；第三問，先找線段的中點到平面的距離，利用線面垂直的判定定理，得到即是，用等面積法求，所以點到平面的距離是點到平面的距離的兩倍.
試題解析：方法1：（1）證明：∵，，∴平面，∴．（2分）
（2）取的中點，連．∵，∴，∴平面．

作，交的延長線于，連接．
由三垂線定理得，∴為二面角的平面角．
∵直線與直線所成的角為，
∴在中，．
在中，．
在中，．
在中，．
在中，∵，∴．
故二面角的余弦值為．（8分）
（3）作于．∵平面