Question

【題目】已知圓O：x2+y2=1和定點A（2，1），由圓O外一點P（a，b）向圓O引切線PQ，PM，切點為Q，M，且滿足|PQ|=|PA|．

（1）求實數a，b間滿足的等量關系；
（2）若以P為圓心的圓P與圓O有公共點，試求圓P的半徑最小時圓P的方程；
（3）當P點的位置發生變化時，直線QM是否過定點，如果是，求出定點坐標，如果不是，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：連OP，∵Q為切點，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2=|OP|2﹣|OQ|2．

∵|PQ|=|PA|故PA2=PO2﹣1

∴a2+b2﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2

化簡可得，2a+b﹣3=0

（2）解：設圓P的半徑為R，

∵圓P與圓O有公共點，且半徑最小，

∴R=|OP|= = = ，

故當a= 時，|OP|min=

此時，b= ，Rmin= ﹣1．

得半徑取最小值時圓P的方程為 ；

（3）解：設Q（x1，y1），M（x2，y2），則

化簡得ax1+by1=1，

同理ax2+by2=1．

所以，直線MQ的方程為ax+by=1．

∵b=3﹣2a，代入上式得（x﹣2y）a+3y﹣1=0，

令x﹣2y=0，3y﹣1=0，得x= ，y= ，

∴直線MQ過定點（ ）．

【解析】（1）由已知Q為切點，可知PQ⊥OQ，結合勾股定理有|PQ|2=|OP|2﹣|OQ|2及已知|PQ|=|PA|，利用兩點間的距離公式可得a，b之間的關系（2）設圓P的半徑為R，由圓P與圓O有公共點，且半徑最小，可知R=OP，利用兩點間的距離，結合（1）中a，b的關系可轉化為關于a的二次形式，結合二次函數的性質可求R的最小值，進而可求圓的方程；（3）求出直線MQ的方程，結合b=3﹣2a，即可得出結論．