Question

【題目】【2017湖南長沙二模】已知函數，.

（1）證明：，直線都不是曲線的切線；

（2）若，使成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）若直線與曲線相切，因直線過定點，若設切點則可得①，又，上單調遞增，當且僅當時，①成立，這與矛盾,結論得證.

（2）可轉化為，令，，，分類討論求的最小值即可.

試題解析：（1）的定義域為，，直線過定點，若直線與曲線相切于點（且），則，即①，設，，則，所以在上單調遞增，又，從而當且僅當時，①成立，這與矛盾.

所以，，直線都不是曲線的切線；

（2）即，令，，

則，使成立，

.

（i）當時，，在上為減函數，于是，由得，滿足，所以符合題意；

（ii）當時，由及的單調性知在上為增函數，所以，即.

①若，即，則，所以在為增函數，于是，不合題意；

②若，即，則由，及的單調性知存在唯一，使，且當時，，為減函數；當時，，為增函數；

所以，由得，這與矛盾，不合題意.

綜上可知，的取值范圍是.