Question

【題目】已知橢圓，過的直線與橢圓相交于兩點，且與軸相交于點.

（1）若，求直線的方程；

（2）設關于軸的對稱點為，證明：直線過軸上的定點.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）見解析

【解析】

（1）由已知條件利用點斜式設出直線的方程，則可表示出點的坐標，再由的關系表示出點的坐標，而點在橢圓上，將其坐標代入橢圓方程中可求出直線的斜率；

（2）設出兩點的坐標，則點的坐標可以表示出，然后直線的方程與橢圓方程聯立成方程，消元后得到關于的一元二次方程，再利用根與系數的關系，再結合直線的方程，化簡可得結果.

（1）由條件可知直線的斜率存在，則

可設直線的方程為，則，

由，有，

所以，

由在橢圓上，則，解得，此時在橢圓內部，所以滿足直線與橢圓相交，

故所求直線方程為或.

（也可聯立直線與橢圓方程，由驗證）

（2）設，則，

直線的方程為.

由得，

由，

解得，

，

當時，，

故直線恒過定點.