Question

【題目】已知分別是橢圓的左焦點和右焦點，橢圓的離心率為是橢圓上兩點，點滿足.

(1)求的方程；

(2)若點在圓上，點為坐標(biāo)原點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)焦點坐標(biāo)和離心率，結(jié)合橢圓中的關(guān)系，即可求得的值，進(jìn)而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)出直線的方程為，由題意可知為中點.聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理表示出，由判別式可得；由平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積定義，化簡可得，代入弦長公式化簡；由中點坐標(biāo)公式可得點的坐標(biāo)，代入圓的方程，化簡可得，代入數(shù)量積公式并化簡，由換元法令，代入可得，再令及，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可確定的取值范圍，即確定的取值范圍，因而可得的取值范圍.

（1）分別是橢圓的左焦點和右焦點，

則，橢圓的離心率為

則解得，

所以，

所以的方程為.

（2）設(shè)直線的方程為，點滿足，則為中點，點在圓上，設(shè)，

聯(lián)立直線與橢圓方程，化簡可得，

所以

則，化簡可得，

而

由弦長公式代入可得

為中點，則

點在圓上，代入化簡可得，

所以

令，則，，

令，則

令，則，

所以，

因為在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，

即

所以