Question

在如圖所示的平面直角坐標系中，三角形AOB是腰長為2的等腰直角三角形，動點P與點O位于直線AB的兩側，且∠APB=

3

4

π．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）過點P作PH⊥OA交OA于H，求△OHP得周長的最大值及此時P點得坐標．

Answer 1

分析：（1）在等腰直角三角形AOB中，利用正弦定理求出點P在以AB為弦，半徑為2的圓弧上，點P位于直線AB的兩側，因此點P的軌跡方程是以O為圓心，半徑為2，夾在∠AOB內的圓弧（端點除外），從而求出點P的軌跡方程；
（2）設P（2cosα，2sinα）（α∈（0，

π

2

））則△OHP的周長l=2+2cosα+2sinα，然后利用輔助角公式進行化簡變形即可求出最大值，以及取最大值時點P的坐標．

解答：解：（1）在等腰直角三角形AOB中，AB=2

2

因為

AB

sin 3π 4

=

2 2

2 2

=4
因此，點P在以AB為弦，半徑為2的圓弧上．
又因OA=OB=2，點P位于直線AB的兩側，因此點P的軌跡方程是以O為圓心，半徑為2，夾在∠AOB內的圓弧（端點除外）
所以點P的軌跡方程為x²+y²=4（x＞0，且y＞0）
（2）設P（2cosα，2sinα）（α∈（0，

π

2

））則
△OHP的周長l=2+2cosα+2sinα
=2+2

2

sin（α+

π

4

）
所以，當α=

π

4

時，△OHP的周長l取最大值2+2

2

，此時P（

2

，

2

）

點評：本題主要考查了直線和圓的方程的應用，以及軌跡方程，同時考查了輔助角公式，同時考查了計算求解的能力，屬于難題．