Question

在如圖所示的平面直角坐標系中，已知點．A（1，0）和點B（-1，0），|

OC

|=1，且∠AOC=x，其中O為坐標原點．
（Ⅰ）若x=

3

4

π，設點D為線段OA上的動點，求|

OC

+

OD

|的最小值；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]，向量

m

=

BC

，

n

=(1-cosx，sinx-2cosx)，求

m

•

n

的最小值及對應的x值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 設D（t，0）（0≤t≤1），化簡 |

OC

+

OD

|2=

1

2

-

2

t+t2+

1

2

=t2-

2

t+1=(t-

2

2

)2+

1

2

(0≤t≤1)，利用二次函數的性質求得它的最小值．
（Ⅱ）由題意得

m

•

n

=1-cos2x+sin2x-2sinxcosx=1-cos2x-sin2x=1-

2

sin（2x+

π

4

），再利用
正弦函數的定義域和值域 求出它的最小值．

解答：解：（Ⅰ）若x=

3

4

π，設D（t，0）（0≤t≤1），可得C(-

2

2

，

2

2

)，
所以，

OC

+

OD

=(-

2

2

+t，

2

2

)，
所以 |

OC

+

OD

|2=

1

2

-

2

t+t2+

1

2

=t2-

2

t+1…（3分）
=(t-

2

2

)2+

1

2

(0≤t≤1)，
所以當t=

2

2

時，|

OC

+

OD

|2取得最小值為

1

2

，故|

OC

+

OD

|最小值為

2

2

．…（6分）
（Ⅱ）由題意得C（cosx，sinx），

m

=

BC

=(cosx+1，sinx)
則

m

•

n

=1-cos2x+sin2x-2sinxcosx=1-cos2x-sin2x=1-

2

sin（2x+

π

4

）．…（9分）
因為x∈[0，

π

2

]，所以

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

．
所以當2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

時，sin(2x+

π

4

)取得最大值1，
所以x=

π

8

時，

m

•

n

=1-

2

sin(2x+

π

4

)取得最小值1-

2

，
所以

m

•

n

的最小值為1-

2

，此時x=

π

8

． …（12分）

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，兩個向量的數量積的公式，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．