Question

【題目】定義：若各項為正實數的數列滿足，則稱數列為“算術平方根遞推數列”.

已知數列滿足且點在二次函數的圖象上.

（1）試判斷數列是否為算術平方根遞推數列？若是，請說明你的理由；

（2）記，求證：數列是等比數列，并求出通項公式；

（3）從數列中依據某種順序自左至右取出其中的項，把這些項重新組成一個新數列：.若數列是首項為、公比為的無窮等比數列，且數列各項的和為，求正整數的值．

Answer 1

【答案】（1） 是，理由祥見解析；（2） 證明祥見解析，；（3） k=6,m=3.

【解析】

試題（1）利用“平方遞推數列”的定義判斷即可；

（2）利用（1）的結論，由等比數列的定義即可得證，進而由等比數列的通項公式即可寫出通項公式；

（3）由無窮等比數列的各項和公式可得關于m,k的方程，由于m,k都是正整數，所以對m的取值進行分類討論：當時代入方程可知矛盾，，從而得到或2，然后再分別討論即可求得m,k的值．

試題解析：（1）答：數列是算術平方根遞推數列.

理由：在函數的圖像上，

，.

又，

∴．

∴數列是算術平方根遞推數列.

證明（2），

.

又,

數列是首項為,公比的等比數列.

.

（3）由題意可知，無窮等比數列的首項,公比，

．

化簡，得．

若，則.這是矛盾！

.

又時，,

.

.