Question

【題目】已知函數f（x）=（x﹣1）lnx﹣（x﹣a）2（a∈R）． （Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）上單調遞減，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）有兩個極值點x1 ， x2 ， 求證：x1+x2＞ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知， 恒成立

令 ，則 ，

﹣（2x+1）＜0，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1，

故g（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，

∴g（x）max=g（1）=2a﹣2∴由f'（x）≤0恒成立可得a≤1．

即當f（x）在（0，+∞）上單調遞減時，a的取值范圍是（﹣∞，1]．

（Ⅱ）若f（x）有兩個極值點x1，x2，不妨設0＜x1＜x2．

由（Ⅰ）可知a＞1，且f′（x1）=lnx1﹣ ﹣2x1+1+2a①，f′（x2）=lnx2﹣ ﹣2x2+1+2a②，

由①﹣②得： ∴ ∴ ，即 ，

由①+②得： ，

∴

【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，得到f′（x）≤0恒成立，令 ，求出函數的導數，根據函數的單調性得到g（x）max≤0，求出a的范圍即可；（Ⅱ）根據f′（x1）=lnx1﹣ ﹣2x1+1+2a①，f′（x2）=lnx2﹣ ﹣2x2+1+2a②，得到：x1+x2的解析式，從而證明結論即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．