Question

【題目】若函數f（x）= 有最大值，則實數a的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.[﹣2，+∞）
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：由x＞a時，f（x）=﹣2x﹣1遞減，可得f（x）＜﹣2a﹣1，無最大值，

函數f（x）= 有最大值，

可得x≤a時，f（x）取得最大值M，且M≥﹣2a﹣1，

由f（x）=﹣（x+1）ex的導數為f′（x）=﹣（x+2）ex，

可得x＞﹣2時，f′（x）＜0，f（x）遞減；x＜﹣2時，f′（x）＞0，f（x）遞增．

即有f（x）在x=﹣2處取得極大值，且為最大值e﹣2．

若a＜﹣2，則f（x）在（﹣∞，a]遞增，可得f（x）≤f（a）=﹣（a+1）ea，

由題意可得﹣（a+1）ea≥﹣2a﹣1，

即有（a+1）ea﹣2a﹣1≤0，

由g（a）=（a+1）ea﹣2a﹣1的導數為g′（a）=（a+2）ea﹣2＜0，（a＜﹣2），

則g（a）在a＜﹣2遞減，可得g（a）＞g（﹣2）=﹣e﹣2+3＞0，

則不等式（a+1）ea﹣2a﹣1≤0無實數解．

故a≥﹣2，可得x=﹣2處f（x）取得最大值，且為﹣e﹣2，

由﹣e﹣2≥﹣2a﹣1，

解得a≥﹣ ﹣ ，

綜上可得，a的范圍是[﹣ ﹣ ，+∞）．

故選：A．

【考點精析】掌握函數的最值及其幾何意義是解答本題的根本，需要知道利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值．