已知函數f(x)=ax2+ln(x+1).
（1）當a=
時，求函數f(x)的單調區間；
（2）當
時，函數y=f(x)圖像上的點都在
所表示的平面區域內，求實數a的取值范圍；
（3）求證：
（其中
,e是自然數對數的底數）
（1）
的單調遞增區間為
，單調遞減區間為
（2）
（3）見解析
解析試題分析：
（1）函數f(x)是二次與對數的結合，求單調性可以利用導數，以此先求定義域，求導，求導函數大于0與小于0分別求出單調遞增與單調遞減區間.
（2）要使得函數圖象上的點都在
所表示的平面區域內，則當
時，
不等式
恒成立即可，即轉化了恒成立問題，則只需要
,故考慮對
求導求單調性來確定函數在上的最大值，因為導函數含有參數a，所以在求解單調性確定最值的過程中需要討論a的范圍，討論需從兩根的大小和0的大小進行分析才能確定的最值，從而得到a的取值范圍.
（3）考慮把不等式兩邊
同時去對數再證明，即證明
，利用對數的乘法公式可以把不等式的左邊化解成為不可求和數列的和，在利用利用（2）得到當a=0時，ln(1+x)
是恒成立的，把不可求和數列放縮成為可以裂項求和的數列，裂項利用
，進而證明原不等式.
試題解析：
（1）當
時，
（
），
（）， 1分
由
解得
，由
解得
．
故函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為． 3分
（2）因函數圖象上的點都在所表示的平面區域內，則當時，
不等式恒成立，即
恒成立，
設
（
），只需
即可． 4分
由
，
（�。┊�
時，
，當
時，
，
函數
在
上單調遞減，故
成立． 5分
（ⅱ）當
時，由
，因，所以
，
①
，即
時，在區間上，
，則函數在上單調遞增，在
上無最大值（或：當
時，
），此時不滿足條件；
②若
，即
時，函數在
上單調遞減，
在區間
上單調遞增，同樣在
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
圖像上一點
處的切線方程為
(1)求
的值；(2)若方程
在區間
內有兩個不等實根，求
的取值范圍；(3)令
如果
的圖像與
軸交于
兩點，
的中點為
，求證：
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已知函數
..
（1）設曲線
處的切線為
，點（1，0）到直線l的距離為
，求a的值；
（2）若對于任意實數
恒成立，試確定
的取值范圍；
（3）當
是否存在實數
處的切線與y軸垂直？若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，半徑為30
的圓形（
為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料
，其中點
在圓弧上，點
在兩半徑上，現將此矩形材料卷成一個以
為母線的圓柱形罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗），設
與矩形材料的邊
的夾角為
，圓柱的體積為
.
（1）求關于的函數關系式？
（2）求圓柱形罐子體積的最大值.
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,函數
時,求函數
的表達式;
,函數
上的最小值是2 ,求
的值;
是自然對數的底數，函數
.
的單調遞增區間；
時，函數
，求
的值.
.
， 
的單調區間；
內存在
，使不等式
成立，求
的取值范圍.
在
處取得極值，且在點
處的切線斜率為
.
的單調增區間；
的方程
在區間
上恰有兩個不相等的實數根，求實數
的取值范圍.