如圖，半徑為30
的圓形（
為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料
，其中點
在圓弧上，點
在兩半徑上，現將此矩形材料卷成一個以
為母線的圓柱形罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗），設
與矩形材料的邊
的夾角為
，圓柱的體積為
.
（1）求關于的函數關系式？
（2）求圓柱形罐子體積的最大值.
（1）
；（2）
解析試題分析：（1）利用解直角三角形用將OA，AB表示出來，利用OA是圓柱的底面周長，將圓柱的底面半徑用表示出來，圓柱的高就是AB，再利用圓柱的體積公式求出圓柱的體積即為所求關于的函數關系式，注意要標明定義域；（2）設sin=
,將圓柱形罐子體積化為關于的函數，注意的范圍，求出
的導數，利用導數求出單調區間，求出的極值，再求出函數的最大值就是圓柱形罐子體積的最大值.
試題解析：（1）
（2）令
，
，
所以函數
在
上單調遞增，在
上單調遞減，
即當
時，體積取得最大值
.
【解法2】：（1）連接，在
中，設
，則
設圓柱底面半徑為
，則
，即
，
，其中
.
（2）由
，得
由
解得
；由
解得
．
因此在
上是增函數，在
上是減函數．
所以當時，有最大值．
考點：1.圓的參數方程；2.圓柱的體積公式；3.利用導數求函數最值；4.運算求解能力.
手拉手全優練考卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
（e為自然對數的底數）.
（1）設曲線
處的切線為
，若與點（1，0）的距離為
，求a的值；
（2）若對于任意實數
恒成立，試確定
的取值范圍；
（3）當
上是否存在極值？若存在，請求出極值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，
.
（1）若曲線
在點
處的切線平行于
軸，求
的值；
（2）當
時，若對
，
恒成立，求實數
的取值范圍；
（3）設
，在（1）的條件下，證明當
時，對任意兩個不相等的正數
、
，有
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)=ax2+ln(x+1).
（1）當a=
時，求函數f(x)的單調區間；
（2）當
時，函數y=f(x)圖像上的點都在
所表示的平面區域內，求實數a的取值范圍；
（3）求證：
（其中
,e是自然數對數的底數）
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知數列
的前
項和為
，對一切正整數，點
都在函數
的圖像上，且過點的切線的斜率為
.
（1）求數列的通項公式；
（2）設
，等差數列
的任一項
，其中
是
中所有元素的最小數，
，求的通項公式.
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R）.
在點
處的切線與直線
平行，求
的值；
的單調區間和極值；
，且
時，證明：
上給定曲線
，試在此區間內確定點
的值，使圖中所給陰影部分的面積
與
之和最小．
，
．
的單調區間；
的最小值為
，求
的值．
．
時，求
的最大值；
恒成立；
．（參考數據：
）