Question

如圖，是圓的直徑,點是圓上異于的點，直線 分別為的中點。

（1）記平面與平面的交線為，試判斷與平面的位置關系，并加以說明；
（2）設（1）中的直線與圓的另一個交點為，且點滿足，記直線
平面所成的角為異面直線與所成的銳角為，二面角的大小為
①求證：
②當點為弧的中點時，，求直線與平面所成的角的正弦值。

Answer 1

（1）直線∥平面（2）①詳見解析②

試題分析：（1）面,根據線線平行，線面平行，線與交線平行，從而得出線面平行，（2）①連接，由（ 1）可知交線即為直線，且∥. 因為是的直徑，所以，于是.已知平面，而平面，所以.而，所以平面,在不同的直角三角形內構造，做出.③因為∥，所以直線與平面所成的角就為CF與平面所成的角過點C作CG⊥BF,垂足為G，就是直線與平面所成的角.
試題解析：

解（1）直線∥平面，證明如下：連接，因為，分別是，的中點，所以∥. 又平面，且平面，所以∥平面.而平面，且平面平面，所以∥. 因為平面，平面，所以直線∥平面
（2）①證明：如圖，

連接，由（1）可知交線即為直線，且∥. 因為是的直徑，所以，于是.
已知平面，而平面，所以.而，所以平面.連接，，因為平面，所以.故就是二面角的平面角，即. 由，作∥，且. 連接，，因為是的中點，，所以，
從而四邊形是平行四邊形，∥.連接，因為平面，所以是在平面內的射影，故就是直線與平面所成的角，即. 又平面，有，知為銳角，故為異面直線與所成的角，即，   8分
于是在△，△，△中，分別可得，，，
從而，即.      9分
②因為∥，所以直線與平面所成的角就為CF與平面所成的角
過點C作CG⊥BF,垂足為G，因為平面所以CG，又所以CG⊥平面
故就是直線與平面所成的角， ，故直線與平面所成的角的正弦值為    13分