Question

如圖，四棱錐中，平面，底面為矩形，為的中點.

（1）求證：；
（2）在線段上是否存在一點，使得平面？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）當為線段的中點時，滿足平面，此時.

試題分析：（1）要證線線垂直，通常只需證線面垂直，本題中要證，只需證明平面，而要證平面，又只需證垂直于平面內的兩條相交直線即可，這兩個垂直關系，由題中的為矩形及平面不難得到，命題得證；（2）先假設在線段上能找到一點，使得平面，此時平面平面，平面，由線面平行的性質可知，由是的中點，在中可知，也是的中點，此時再根據題中的條件，即可求出的值，最后采用綜合法進行證明即可，問題得以解決.
試題解析：（1）證明：因為平面，平面，所以
又因為是矩形，所以
因為，所以平面        4分
又因為平面，所以       6分
（2）取中點，連結
因為為的中點，是的中點，所以
又因為平面，平面，所以平面    10分
此時
即在邊上存在一點，使得平面，的長為    12分.