Question

如圖,已知三棱錐A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M為AB中點(diǎn),D為PB中點(diǎn),且△PMB為正三角形.

(1)求證DM∥平面APC;
(2)求證平面ABC⊥平面APC;
(3)若BC=PC=4,求二面角P-AB-C的正弦值.

Answer 1

(3)

試題分析：
(1)從平面內(nèi)找一條與平行的直線,根據(jù)題意可知, 是的中位線,有∥,則證明.
(2)要證面面垂直得有線面垂直,根據(jù)題意可證,從而得到,進(jìn)而有,最終可證.
(3)首先得做出二面角的平面角,所以過作，垂足為，連接,猜想為二面角的平面角,根據(jù)二面角的平面角定義,只需證明 ,顯然根據(jù)已知以及(1)中的結(jié)論,可證平面,則可證明猜想.將放入中,即可求其正弦值.
證明為中點(diǎn), 為中點(diǎn),
中,有∥,
又,
 ∥平面                                       
(2)證明為正三角形,且為中點(diǎn),
又由(1)知, ∥.             
又,                          
                             
                         
                   
(3)

過作，垂足為，連接， 
，為中點(diǎn)，
，又由（2）知平面，
,平面,
又平面,                         
為二面角的平面角         
,為中點(diǎn),,又由（2）平面，∴，，
又 ，為中點(diǎn),為正三角形，
∴，
∴，
∴
∴在，
即二面角的正弦值為．