已知
是等差數列，首項
，前
項和為
.令
,
的前
項和
.數列
是公比為
的等比數列，前項和為
，且
，
.
（1）求數列、
的通項公式；
（2）證明：
.
(1) 
，
；(2)見解析.
解析試題分析：(1)首先設等差數列的公差為
，由已知建立的方程，求得
，寫出等差數列的通項公式；進一步確定等比數列的公比，求得等比數列的通項公式.
(2)求得
，將不等式加以轉化成
，
即證：
.注意到這是與自然數有關的不等式證明問題，故考慮應用數學歸納法.
很明顯
時，
，因此用數學歸納法證明：當
時，
.
試題解析：(1)設等差數列的公差為，因為
所以
則
則
解得，所以
4分
所以
，
所以 6分
(2)由(1)知，
要證
，
只需證
即證： 8分
當時，
下面用數學歸納法證明：當時，
（1）當
時，左邊
，右邊
，左
右，不等式成立
（2）假設
，
則
時，
時不等式成立
根據（1）（2）可知：當時，
綜上可知：對于
成立
所以 12分
考點：等差數列、等比數列的通項公式及其求和公式，數學歸納法.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設數列{an}、{bn}、{cn}滿足：bn＝an－an＋2，cn＝an＋2an＋1＋3an＋2(n＝1，2，3，…)，求證：{an}為等差數列的充分必要條件是{cn}為等差數列且bn≤bn＋1(n＝1，2，3，…)．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
(1)已知兩個等比數列{an},{bn},滿足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3,若數列{an}唯一,求a的值;
(2)是否存在兩個等比數列{an},{bn},使得b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成公差不為0的等差數列?若存在,求{an},{bn}的通項公式;若不存在,說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在等差數列{an}中,a1=3,其前n項和為Sn,等比數列{bn}的各項均為正數,b1=1,公比為q,且b2+S2=12,q=
.
(1)求an與bn.
(2)證明:
≤
+
+…+
<
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
等差數列{an}的首項為a1,公差d=-1,前n項和為Sn.
(1)若S5=-5,求a1的值.
(2)若Sn≤an對任意正整數n均成立,求a1的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設各項均為正數的數列
的前
項和為
，滿足
且
恰好是等比數列
的前三項．
（Ⅰ）求數列、的通項公式；
（Ⅱ）記數列的前項和為
,若對任意的
，
恒成立，求實數
的取值范圍．
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的前n項和為
，
，且
成等比數列，當
時，
．
成等差數列；
的前n項和
（常數
），其前
項和為
（
）
的首項
，并判斷
的前n項和，求證：
的前
項和為
.
，數列
的和.