Question

已知函數f（x）=x³-3x²+ax+2，曲線y=f（x）在點（0，2）處的切線與x軸交點的橫坐標為-2．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）證明：當k＜1時，曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個交點．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求函數的導數，利用導數的幾何意義建立方程即可求a；
（Ⅱ）構造函數g（x）=f（x）-kx+2，利用函數導數和極值之間的關系即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）函數的導數f′（x）=3x²-6x+a；f′（0）=a；
則y=f（x）在點（0，2）處的切線方程為y=ax+2，
∵切線與x軸交點的橫坐標為-2，
∴f（-2）=-2a+2=0，
解得a=1．
（Ⅱ）當a=1時，f（x）=x³-3x²+x+2，
設g（x）=f（x）-kx+2=x³-3x²+（1-k）x+4，
由題設知1-k＞0，
當x≤0時，g′（x）=3x²-6x+1-k＞0，g（x）單調遞增，g（-1）=k-1，g（0）=4，
當x＞0時，令h（x）=x³-3x²+4，則g（x）=h（x）+（1-k）x＞h（x）．
則h′（x）=3x²-6x=3x（x-2）在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）單調遞增，
∴在x=2時，h（x）取得極小值h（2）=0，
g（-1）=k-1，g（0）=4，
則g（x）=0在（-∞，0]有唯一實根．
∴g（x）＞h（x）≥h（2）=0，
∴g（x）=0在（0，+∞）上沒有實根．
綜上當k＜1時，曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個交點．

點評：本題主要考查導數的幾何意義，以及函數交點個數的判斷，利用導數和函數單調性之間的關系是解決本題的關鍵，考查學生的計算能力．