【題目】直角坐標系xoy中，橢圓
的離心率為
，過點
.
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點P(2,1)，直線
與橢圓C相交于A,B兩點，且線段AB被直線OP平分.
①求直線的斜率；②若
，求直線的方程.
【答案】(1) 
.
(2) ①直線
的斜率為除
以外的任意實數.
②
.
【解析】分析：（1）由離心率條件得
，然后將點
.代入原式得到第二個方程，聯立求解即可；（2）①先得出OP的方程
，然后根據點差法研究即可；②先表示出
，然后聯立直線和橢圓根據韋達定理代入等式求解即可.
詳解：
（1）由可得
，
設橢圓方程為
，代入點
，得
，
故橢圓方程為：
.
（2）①由條件知，
設
，則滿足
，
，
兩式作差得：
，
化簡得
，
因為
被
平分，故
，
當
即直線
不過原點時，，所以
；
當
即直線過原點時，
，
為任意實數,但
時與
重合；
綜上即直線
的斜率為除以外的任意實數.
②當時，，故
，
得
，聯立，得
，舍去；
當時，設直線為
，代入橢圓方程可得
，（＃）
所以
，
，
，
，
故
解得
，此時方程（＃）中
，
故所求直線方程為
.
數學奧賽暑假天天練南京大學出版社系列答案
南大教輔搶先起跑暑假銜接教程南京大學出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在△ABC中，D為邊BC上一點，AD=6，BD=3， DC=2．
（1）若AD⊥BC，求∠BAC的大��；
（2）若∠ABC= 
，求△ADC的面積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知某運動員每次投籃命中的概率等于
.現采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0，表示不命中；再以每三個隨機數為一組，代表三次投籃的結果.經隨機模擬產生了如下20組隨機數：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
據此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】 將1至
這個自然數隨機填入n×n方格的個方格中，每個方格恰填一個數（
）．對于同行或同列的每一對數，都計算較大數與較小數的比值，在這
個比值中的最小值，稱為這一填數法的“特征值”．
（1）若
，請寫出一種填數法，并計算此填數法的“特征值”；
（2）當
時，請寫出一種填數法，使得此填數法的“特征值”為
；
（3）求證：對任意一個填數法，其“特征值”不大于．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
的導函數為
.若不等式
對任意實數x恒成立，則稱函數是“超導函數”.
（1）請舉一個“超導函數” 的例子，并加以證明；
（2）若函數
與
都是“超導函數”，且其中一個在R上單調遞增，另一個在R上單調遞減，求證：函數
是“超導函數”；
（3）若函數
是“超導函數”且方程
無實根，
（e為自然對數的底數），判斷方程
的實數根的個數并說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數 
．
（1）求f（x）的極值；
（2）當0＜x＜e時，求證：f（e+x）＞f（e﹣x）；
（3）設函數f（x）圖象與直線y=m的兩交點分別為A（x1 ， f（x1）、B（x2 ， f（x2）），中點橫坐標為x0 ， 證明：f'（x0）＜0．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】傳承傳統文化再掀熱潮，央視科教頻道以詩詞知識競賽為主的《中國詩詞大會》火爆熒屏.將中學組和大學組的參賽選手按成績分為優秀、良好、一般三個等級，隨機從中抽取了
名選手進行調查，下面是根據調查結果繪制的選手等級人數的條形圖.
（1）若將一般等級和良好等級合稱為合格等級，根據已知條件完成下面的
列聯表，并據此資料你是否有
的把握認為選手成績“優秀”與文化程度有關？
優秀 | 合格 | 合計 | |
大學組 | |||
中學組 | |||
合計 |
注：
，其中
.
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（2）若參賽選手共
萬人，用頻率估計概率，試估計其中優秀等級的選手人數；
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