Question

定義域在R上的函數f（x）對于任意的x，y有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（2）=3，當x＞0時，f（x）＞0．
（1）判斷并證明函數f（x）的單調性和奇偶性；
（2）解不等式：f（|x-5|）-6＜f（|2x+3|）．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，求出f（0），再令y=-x，即可判斷出奇偶性；利用函數單調性的定義，設任意x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，結合已知不等式比較f（x₁）和f（x₂）的大小，即可判斷出單調性．
（2）根據f（2）=3，可求6=f（2）+f（2）=f（4），所以不等式可化為：f（|x-5|-|2x+3|）＜f（4），利用函數的單調性得|x-5|-|2x+3|＜4，利用零點分段，從而可解不等式．

解答：解：（1）令x=y=0，則f（0）=0
令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）=0
∴y=f（x）為奇函數．
任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0．f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）
∵x₂-x₁＞0∴f（x₂-x₁）＞0
∴f（x₂）＞f（x₁）
∴y=f（x）在R上增函數
（2）∵f（2）=3
∴6=f（2）+f（2）=f（4）
∴f（|x-5|）-6＜f（|2x+3|）
∴f（|x-5|-|2x+3|）＜f（4）
∴|x-5|-|2x+3|＜4
∴

x≥5 x-5-(2x+3)＜4

⇒x≥5
或

x≤- 3 2 5-x+2x+3＜4

⇒x＜-4
或

- 3 2 ＜x＜5 5-x-(2x+3)＜4

⇒-

3

2

＜x＜5
綜上知，x＞-

3

2

或x＜-4．

點評：本題以函數的性質為載體，考查抽象函數的奇偶性和單調性的判斷和應用：解不等式，及分類討論思想，綜合性強，難度較大．