Question

21、已知定義域在R上的函數f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＞0，
（1）求f（0）．
（2）判斷函數的奇偶性，并證明之．
（3）解不等式f（a²-4）+f（2a+1）＜0．

Answer 1

分析：解決此類問題的關鍵是利用好條件中的函數性質等式．（1）利用賦值法求f（0）的值；（2）利用賦值法及定義證明函數的奇偶性；（3）利用函數的單調性解不等式．

解答：解：（1）取x=y=0則f（0）=2f（0）∴f（0）=0

（2）f（x）是奇函數．其證明如下：
對任意x∈R，取y=-x則f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）=f（0）=0即f（-x）=-f（x）
∴f（x）是R上的奇函數

（3）任意取x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，則x₂=x₁+△x（其中△x＞0）
∴f（x₂）=f（x₁+△x）=f（x₁）+f（△x）
∴f（x₂）-f（x₁）=f（△x）＞0即f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）是R上的增函數
又∵f（a²-4）+f（2a+1）＜0
∴f（2a+1）＜-f（a²-4）=f（4-a²）
∴2a+1＜4-a²即a²+2a-3＜0
∴-3＜a＜1

點評：抽象函數求值問題的方法就是賦值．判斷抽象函數的奇偶性和單調性通常應用定義法．抽象函數解不等式應利用函數的單調性及奇偶性來解決．