Question

【題目】在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，點M、N分別在邊AB、BC上，沿直線MD、DN、NM，分別將△AMD、△CDN、△BNM折起，點A，B，C重合于一點P．

（1）證明：平面PMD⊥平面PND；
（2）若cos∠DNP= ，PD=5，求直線PD與平面DMN所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵翻折前MB⊥NB，MA⊥DA，∴翻折后MP⊥NP，MP⊥PD，

∵NP∩PD=P，∴MP⊥平面PND，

∵MP平面PMD，∴平面PMD⊥平面PND

（2）解：由題意得AM=BM=PM，BN=CN=PN，AD=CD=PN，

設AM=a，BN=b，作DH⊥BC，NH= ，

∴AD=BN+NH=b+ ，

∴ =3ab+ ，

S△MND=S梯形ABCD﹣S△AMD﹣S△MBN﹣S△DNC

=3ab+ ﹣

=ab+ ，

= = = ．

PO⊥平面MPN，

PO= = = ，

sin ，

如圖， ，

解得a= ，b= ，代入上式得sin∠PDO= ．

∴直線PD與平面DMN所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）推導出翻折后MP⊥NP，MP⊥PD，由此能證明平面PMD⊥平面PND．（2）由題意得AM=BM=PM，BN=CN=PN，AD=CD=PN，設AM=a，BN=b，作DH⊥BC，由此入手能求出直線PD與平面DMN所成角的正弦值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．