Question

【題目】已知函數y=f(x)，f(0)=-2，且對 ，y R，都有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x.
（1）求f(x)的表達式；
（2）已知關于x的不等式f(x)-ax+a+1 的解集為A，若A[2,3]，求實數a的取值范圍；
（3）已知數列{ }中， ， ，記 ，且數列{ 的前n項和為 ，
求證： .

Answer 1

【答案】
（1）解：取y=0，可得f(x)=(x+1)x-2=
（2）解：令g(x)= ，由題意可知
， ，g(2) ，g(3) .
可得
（3）證明：∵ ,
∴
即
∵ ，
∴
,

【解析】（1）求函數f(x)的表達式，直接令y=0，代入式子中即可得到。
（2）在閉區間上用二次函數的性質求解不等式，要從，對稱軸的位置，閉區間端點的函數值三個方面綜合考慮，然后將所得范圍交起來即可。
（3）將an代入f(x)函數中，向bn的方向化簡等式，得到和的關系，代入前n項和的公式中求解即得。