Question

【題目】已知函數f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3）（a＞0，且a≠1）
（1）求函數f（x）的定義域和值域；
（2）若函數 f（x）有最小值為﹣2，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，得﹣3＜x＜1，∴函數的定義域{x|﹣3＜x＜1}，f（x）=loga（1﹣x）（x+3），

設t=（1﹣x）（x+3）=4﹣（x+1）2，∴t≤4，又t＞0，則0＜t≤4．

當a＞1時，y≤loga4，值域為{y|y≤loga4}．

當0＜a＜1時，y≥loga4，值域為{y|y≥loga4}．

（2）解：由題設及（1）知：

當0＜a＜1時，函數有最小值，∴loga4=﹣2，解得 ．

【解析】1、本題考查的是對數函數求定義域即真數大于零，復合函數求值域設t=（1﹣x）（x+3）=4﹣（x+1）2，可得t≤4，根據題意可得0＜t≤4．對a分情況討論當a＞1時，y≤loga4，值域為{y|y≤loga4}．當0＜a＜1時，y≥loga4，值域為{y|y≥loga4}．
2、本題考查的是指對互化求值。