Question

某廠擬在2014年通過廣告促銷活動推銷產品.經調查測算，產品的年銷售量（假定年產量=年銷售量）萬件與年廣告費用萬元滿足關系式：（為常數）.若不做廣告，則產品的年銷售量恰好為1萬件.已知2014年生產該產品時，該廠需要先固定投入8萬元，并且預計生產每1萬件該產品時，需再投入4萬元，每件產品的銷售價格定為每件產品所需的年平均成本的1.5倍（每件產品的成本包括固定投入和生產再投入兩部分，不包括廣告促銷費用）.
（1）將2014年該廠的年銷售利潤（萬元）表示為年廣告促銷費用（萬元）的函數；
（2）2014年廣告促銷費用投入多少萬元時，該廠將獲利最大？

Answer 1

（1）（2）1萬元

試題分析：（1）由題意把m=0，x=1代入求出k值，求出每件產品的銷售價格，由利潤等于收入減去費用得到利潤y萬元與促銷費用m萬元的函數關系式；
（2）直接利用基本不等式求最值．
試題解析：．（1）由題意得當時即∴
∴
∴
∴所求的函數解析式為
（2）由（1）得
∵∴∴
當且僅當即時取等號.
∴當2014年廣告促銷費用投入1萬元時，該將獲利最大.