Question

為了保護環境，某工廠在國家的號召下，把廢棄物回收轉化為某種產品，經測算，處理成本（萬元）與處理量（噸）之間的函數關系可近似的表示為：
，且每處理一噸廢棄物可得價值為萬元的某種產品，同時獲得國家補貼萬元．
（1）當時，判斷該項舉措能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；
如果不能獲利，請求出國家最少補貼多少萬元，該工廠才不會虧損？
（2）當處理量為多少噸時，每噸的平均處理成本最少？

Answer 1

(1) 國家最少需要補貼萬元，該工廠才能不會虧損；（2）30. 

試題分析：（1）本題考查函數應用，屬于容易題，解題的關鍵是列出收益函數，收益等于收入減成本，因此有利潤，化簡后它是關于的二次函數，利用二次函數的知識求出的取值范圍，如果有非負的取值，就能說明可能獲利，如果沒有非負取值，說明不能獲利，而國家最小補貼就是中最大值的絕對值. （2）每噸平均成本等于，由題意，我們根據基本不等式的知識就可以求出它的最小值以及取最小值時的值. 
試題解析：（1）根據題意得，利潤和處理量之間的關系：
                 2分
，.
∵，在上為增函數，
可求得.                       5分
∴ 國家只需要補貼萬元，該工廠就不會虧損．          7分
（2）設平均處理成本為                     9分
       11分
當且僅當時等號成立，由 得．
因此，當處理量為噸時，每噸的處理成本最少為萬元．      14分