【題目】在棱長為
的正方體
中，
是面對角線
上兩個不同的動點.以下四個命題：①存在兩點，使
；②存在兩點，使
與直線
都成
的角；③若
，則四面體
的體積一定是定值；④若，則四面體在該正方體六個面上的正投影的面積的和為定值.其中為真命題的是____.
【答案】①③④
【解析】
對于①中，當
點與
點重合，
與點
重合時，可判斷①正確；當點點與點重合，
與直線
所成的角最小為
，可判定②不正確；根據平面
將四面體
可分成兩個底面均為平面，高之和為
的棱錐，可判定③正確；四面體在上下兩個底面和在四個側面上的投影，均為定值，可判定④正確.
對于①中，當點與點重合，與點重合時，
，所以①正確；
對于②中，當點點與點重合，與直線所成的角最小，此時兩異面直線的夾角為，所以②不正確；
對于③中，設平面
兩條對角線交點為
，可得
平面，
平面將四面體可分成兩個底面均為平面，高之和為的棱錐，
所以四面體的體積一定是定值，所以③正確；
對于④中，四面體在上下兩個底面上的投影是對角線互相垂直且對角線長度均為1的四邊形，其面積為定義，
四面體在四個側面上的投影，均為上底為
，下底和高均為1的梯形，其面積為定值，
故四面體在該正方體六個面上的正投影的面積的和為定值，所以④正確.
故答案為：①③④.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，右焦點為
，以原點
為圓心，橢圓
的短半軸長為半徑的圓與直線
相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，過定點
的直線
交橢圓于
兩點，連接
并延長交于
，求證：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為抗擊“新冠肺炎”，全國各地“停課不停學”，各學校都開展了在線課堂，組織學生在線學習，并自主安排時間完成相應作業為了解學生的學習效率，某在線教育平臺統計了部分高三備考學生每天完成數學作業所需的平均時間，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）如果學生在完成在線課程后每天平均自主學習時間（完成各科作業及其他自主學習）為
小時，估計高三備考學生每天完成數學作業的平均時間占自主學習時間的比例（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）（結果精確到
）；
（2）以統計的頻率作為概率，估計一個高三備考學生每天完成數學作業的平均時間不超過
分鐘的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】微信是騰訊公司推出的一種手機通訊軟件，它支持發送語音、短信、視頻、圖片和文字，一經推出便風靡全國，甚至涌現出一批在微信的朋友圈內銷售商品的人(被稱為微商).為了調查每天微信用戶使用微信的時間，某經銷化妝品的微商在一廣場隨機采訪140位市民進行調查，其中每天玩微信超過6小時的用戶稱為“微信控”，否則稱其為“非微信控”， 調查結果統計如下:
微信控 | 非微信控 | 合計 | |
女性 | 60 | ||
男性 | 30 | ||
合計 | 70 | 140 |
（1）根據以上數據，把表格中的數據填寫完整；
（2）利用（1）完成的表格數據回答下列問題：
①是否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“微信控”與“性別”有關；
②已知在被調查的女性“微信控”市民中有5位退休老人，其中2位是教師，現從這5位退休老人中隨機抽取2人，求至少有1位老師的概率.
附表：
其中
P(K2≥k) | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市據實際情況主要采取以下四種扶貧方式：第一，以工代賑方式，指政府投資建設基礎設施工程，組織貧困地區群眾參加工程建設并獲得勞務報酬，第二，整村推進方式指以貧困村為具體幫扶對象，幫扶對口到村，資金安排到村，扶貧效益到戶，第三，科技扶貧方式，指組織科技人員深入貧困鄉村實地指導、技術培訓等傳授科技知識，第四，移民搬遷方式，指對目前極少數居住在生存條件惡劣、自然資源貧乏地區的特困人口，實行自愿移民，該市為了2020年更好的完成精準扶貧各項任務，2020年初在全市貧困戶（分一般貧困戶和“五特”戶兩類）中隨機抽取了5000戶就目前的主要四種扶貧方式行了問卷調查，支持每種扶貧方式的結果如表：
調查的貧困戶 | 支持以工代賑戶數 | 支持整村推進戶數 | 支持科技扶貧戶數 | 支持移民搬遷戶數 |
一般貧困戶 | 1200 | 1600 |
| 200 |
五特戶（五保戶和特困戶） | 100 |
|
| 100 |
已知在被調查的5000戶中隨機抽取一戶支持整村推進的概率為0.36.
（Ⅰ）現用分層抽樣的方法在所有參與調查的貧困戶中抽取50戶進行深入訪談，問應在支持科技扶貧戶數中抽取多少戶？
（Ⅱ）雖然“五特”戶在全市的貧困戶所占比例不大，但本次調查要有意義，其中這次調查的“五特”戶戶數不能低于被調查總戶數的9.2%，已知
，求本次調查有意義的概率是多少？
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