Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）求函數(shù)在點處的切線方程；

（2）討論函數(shù)的極值點個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）當時，只有一個極大值點；當時，有一個極大值點和一個極小值點

【解析】

（1）將點坐標代入函數(shù)解析式，求得參數(shù)的值，代入導(dǎo)函數(shù)即可求得切線的斜率，進而求得切線方程.

（2）求得導(dǎo)函數(shù)并化簡變形，進而討論、、三種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可確定極值情況.

（1）函數(shù)圖象過點，

代入可得，

∴解得.

代入函數(shù)可得，

則，

所以，

由點斜式可得切線方程為.

所以函數(shù)在點處的切線方程為.

（2）函數(shù)（）.

則，，

令，.

（ⅰ）當時，代入可得，

令，解得，

當，，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，

當時，，所以函數(shù)在時單調(diào)遞減，

因而只有一個極大值點

（ⅱ）當時，令，

由兩根之積為可知方程只有一個正根，

當時，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，

當時，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，

因而只有一個極大值點

（ⅲ）當時，令，有兩個正根，

	+	0	-	0	+
	增	極大值	減	極小值	增

綜上可知，當時，只有一個極大值點；

當時，有一個極大值點和一個極小值點.