Question

【題目】經市場調查，某城市的一種小商品在過去的近20天內的銷售量（件）與價格（元）均為時間t（天）的函數，且銷售量近似滿足g（t）=80﹣2t（件），價格近似滿足于 （元）．
（Ⅰ）試寫出該種商品的日銷售額y與時間t（0≤t≤20）的函數表達式；
（Ⅱ）求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知，由價格乘以銷售量可得：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知①當0≤t≤10時y=﹣t2+10t+1200=﹣（t﹣5）2+1225
函數圖象開口向下，對稱軸為t=5，該函數在t∈[0，5]遞增，在t∈（5，10]遞減
∴ymax=1225（當t=5時取得），ymin=1200（當t=0或10時取得）
②當10＜t≤20時y=t2﹣90t+2000=（t﹣45）2﹣25
圖象開口向上，對稱軸為t=45，該函數在t∈（10，20]遞減，t=10時，y=1200，ymin=600（當t=20時取得）
由①②知ymax=1225（當t=5時取得），ymin=600（當t=20時取得）
【解析】（Ⅰ）由已知，由價格乘以銷售量可得該種商品的日銷售額y與時間t（0≤t≤20）的函數表達式；（Ⅱ）由（Ⅰ）分段求出函數的最大值與最小值，從而可得該種商品的日銷售額y的最大值與最小值．