Question

【題目】設函數g（x）=x2﹣2x+1+mlnx，（m∈R）．
（1）當m=1時，求函數y=g（x）在點（1，0）處的切線方程；
（2）當m=﹣12時，求f（x）的極小值；
（3）若函數y=g（x）在x∈（ ，+∞）上的兩個不同的數a，b（a＜b）處取得極值，記{x}表示大于x的最小整數，求{g（a）}﹣{g（b）}的值（ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數y=g（x）=x2﹣2x+1+mlnx，g′（x）=2x﹣2+ ，k=g′（1）=1，

則切線方程為y=x﹣1，

故所求切線方程為x﹣y﹣1=0

（2）解：m=﹣12時，g（x）=）=x2﹣2x+1﹣12lnx，（x＞0），

g′（x）=2x﹣2﹣ = ，

令g′（x）＞0，解得：x＞3，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜3，

故g（x）在（0，3）遞減，在（3，+∞）遞增，

故g（x）極小值=g（3）=4﹣12ln3

（3）解：函數y=g（x）的定義域為（0，+∞），

g′（x）=2x﹣2+ = ，

令g′（x）=0并結合定義域得2x2﹣2x+m＞0．

①當△≤0，即m≥ 時，g′（x）≥0，則函數g（x）的增區間為（0，+∞）；

②當△＞0且m＞0，即0＜m＜ 時，函數g（x）的增區間為（0， ），（ ，+∞）；

③當△＞0且m≤0，即m≤0時，函數g（x）的增區間為（ ，+∞）；

故得0＜m＜ 時，a，b為方程2x2﹣2x+m=0的兩相異正根， ＜b＜ ， ＜a＜ ，

又由2b2﹣2b+m=0，得m=﹣2b2+2b，

∴g（b）=b2﹣2b+1+mlnb=b2﹣2b+1+（﹣2b2+2b）lnb，b∈（ ， ），

g′（b）=2b﹣2+（﹣4b+2）lnb+2﹣2b=﹣4（b﹣ ）lnb，

當b∈（ ， ）時，g′（b）＞0，即函數g（b）是（ ， ）上的增函數．

故g（b）的取值范圍是（ ， ），則{g（b）}=0．

同理可求得g（a）的取值范圍是（ ， ），則{g（a）}=0或{g（a）}=1．

∴{g（a）}﹣{g（b）}=0或1

【解析】（1）把m=1代入函數解析式，求得導函數，得到切線的斜率，則切線方程可求；（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極小值即可；（3）根據函數的單調性得到函數y=g（x）在x∈（ ，+∞）上有兩個極值點的m的范圍，由a，b為方程2x2﹣2x+m=0的兩相異正根，及根與系數關系，得到a，b的范圍，把m用a（或b）表示，得到g（a）（或g（b）），求導得到g（b）的取值范圍，進一步求得{g（a）}（或{g（b）}），則答案可求．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的極值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．