Question

【題目】設點到坐標原點的距離和它到直線的距離之比是一個常數．

（1）求點的軌跡；

（2）若時得到的曲線是，將曲線向左平移一個單位長度后得到曲線，過點的直線與曲線交于不同的兩點，過的直線分別交曲線于點，設， ， ，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.

【解析】試題分析: (1)設 ，直接法求出點 的軌跡方程，由軌跡方程判斷出軌跡; (2)由已知條件求出曲線E的方程,利用向量坐標運算求出 ,設直線 的斜率為 ,聯立直線的方程和曲線E的方程,利用韋達定理求出 ,再求出 的范圍.

試題解析:（Ⅰ）過點作， 為垂足，

設點的坐標為，則，

又，所以，

故點的軌跡方程為.

可化為，顯然點的軌跡為焦點在軸上的橢圓.

（Ⅱ）時，得到的曲線的方程是，

故曲線的方程是.

設, ，則，

由，得，即.

當與軸不垂直時，直線的方程為，即，代入曲線的方程并注意到，

整理可得，

則，即，于是.

當與軸垂直時，A點的橫坐標為， ，顯然也成立.

同理可得.

設直線的方程為，聯立，

消去y整理得，

由及，解得.

又，

則.

故求的取值范圍是.

點睛:本題考查了軌跡方程的求法以及直線與橢圓相交時相關問題,屬于中檔題.在(1)中,求軌跡與求軌跡方程不一樣,把軌跡方程求出來后,再判斷是什么類型的曲線;在(2)中,注意向量坐標運算求出的表達式,再聯立直線的方程和橢圓方程求出,進而求出 的范圍.