Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）求在區(qū)間（）上的最小值；

（2）當(dāng)時(shí)，討論方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，分為和兩種情形討論在區(qū)間上的單調(diào)性，故而得其最小值；（2）題意等價(jià)于零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，得到其大致形狀，進(jìn)而得零點(diǎn)個(gè)數(shù).

試題解析：（1），當(dāng)時(shí)， ， 單減；當(dāng)時(shí)， ， 單增；于是，當(dāng)時(shí)， 在單減， 單增， ；當(dāng)時(shí)， 在單增， ； 因此.

（2）令，于是討論方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，相當(dāng)于討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).于是，①當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)為減函數(shù)；注意到，所以有唯一零點(diǎn). ②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，注意到，結(jié)合的大致圖像知，此時(shí)也有唯一零點(diǎn).綜上，函數(shù)在有唯一零點(diǎn).即方程有唯一實(shí)數(shù)根.