Question

2．如果雙曲線C：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的漸近線與拋物線y=x²+$\frac{1}{4}$相切，則C的離心率為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先求雙曲線的漸近線，再利用條件漸近線與拋物線y=x²+$\frac{1}{4}$相切得方程只有一解，運用判別式為0，從而得出a，b的關系，進而求出離心率．

解答 解：雙曲線C：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的漸近線為y=±$\frac{a}{b}$x，
所以其中一條漸近線可以為y=$\frac{a}{b}$x，
又因為漸近線與拋物線y=x²+$\frac{1}{4}$只有一個交點，
所以$\frac{a}{b}$x=x²+$\frac{1}{4}$只有一個解，
所以（$\frac{a}{b}$）²-4×$\frac{1}{4}$=0 即（$\frac{a}{b}$）²=1，即a²=b²，
c²=a²+b²，所以c²=2a²，
所以離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 熟練掌握雙曲線的漸近線與拋物線相切轉化為方程聯立得到一元二次方程的△=0，即可得出a、b的關系式，是解題的關鍵，考查雙曲線的離心率的計算公式e=$\frac{c}{a}$，屬于基礎題．